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复合期权是指以期权为标的资产的期权，即为一种期权的期权（option on option）。此种期权的买方在期初支付期权费用后，即取得在未来某特定时点以约定的价格买进另一固定到期日的期权，这样总共有：对标的买权的买权（call on call）、对标的买权的卖权（put on call）、对标的卖权的买权（call on put）以及对标的卖权的卖权（put on put）等四种复合期权。转自项目管理者联盟 以复合期权对标的买权的买权为例，其到期价值为 C = max [ C(V, X, τ ) – M，0] ，其中：X是标的买入期权的执行价格，M 是复合买入期权的执行价格，其中C(V，X，τ), 是在复合买入期权到期日依据B-S 一般定价公式所决定的标的买入期权价值，标的买入期权的执行价格为X，到期时间为τ。项目经理圈子 Geske（1979）应用风险中立评价法得到一个连续时间条件下的复合期权的基本偏微分方程，并给出了公式解，对于买权的买权，其求解计算表达式如下：
 项目管理者联盟 这里，当标的期权为买权，则η=1，标的期权为卖权时，则η=-1；当复合期权为买权，则φ=1，复合期权为卖权，则φ= -1。其他参数与原来保持不变。PgMp.mypm.net 对前面例2，我们有：η=1，φ=1， V = 0.08´165/1.12， M = 0.08´130 ， X =0.2 ´ 5，T = 2年, τ = 1年 r =10%，σ= 50% , δ = 0。将这些数据代入Geske公式，（注意，R＆D项目的初期投资，并不包含在期权计算公式之内），由此可得出期权价格=183.8万元，这相当于满足交易公平条件下，获取未来R＆D项目收益应支付的权利金，由于它大于项目期初投资，表明进行R＆D投资是有利可图的。 项目管理论坛 Geske公式的特点基本上与前面对B-S 模型的分析结果一致。比如，波动率和利率必须是常数，这种假设常常使得该模型局限性很大，不符合实际应用，针对这一问题，Agliardi Elettra和Agliardi Rossella （2003）对此加以扩展，使得波动率和利率可以是时变函数，我们在后面将对此进行讨论。 4．2．3 数值解法training.mypm.net 期权评价模型的数值解主要包括三种方法，蒙特卡罗模拟法、有限差分法、二项式和三项式评价模型。蒙特卡罗法最早由Boyle于1977 年提出，适用欧式期权或复杂的报酬情况(平均式或多变量情形)，不太适合美式期权的评价。而有限差分法由Schwartz 于1977 年提出，同时适用于欧式与美式期权的评价。项目管理者联盟 二项式评价模型由Cox, Ross, and Rubinstein 于1979年提出，Boyle (1986)对二项式模型进行了改进，提出了三项式模型。但它们具有类似的特点，主要有以下三点：bbs.mypm.net （1） 可应用于欧式或美式期权问题求解。
（2） 期权价值不会因资产的预期价格变动而不同。
（3） 期权价值不会因资产的风险偏好差异而不同。blog.mypm.net 另外，它们还可以处理期权标的物价格不服从对数正态分布的问题。项目管理者联盟 二项式模型的原理是列举实物期权在有效期内标的资产所有可能状态的价值，然后用反向递推方式解决最优决策问题。它的核心是贝尔曼法则，即无论过去的状态和决策如何，对未来的决策所决定的状态而言，未来的决策必须构成最优决策。项目管理者联盟 二项式模型假定在每一时刻的标的资产价格只有沿着上升或下降两个方向变动，并假定上升或下降的幅度u和d满足以下定义：
 bbs.mypm.net 三项式模型的原理与二项式模型完全一致，但与二项式模型相比，三项式模型的收敛效果更好一些。项目管理者联盟 二项式和三项式模型对于处理多阶段投资问题比连续时间模型更为方便。项目管理者联盟 4．2．4 近似模型
Barone-Adesi and Whaley (1987)利用二次逼近方法联合推出美式期权的近似公式解，简称B-A-W。近似公式通常与数值模拟法得到的值十分接近，本文不拟对它展开进行讨论。不过，需要指出的是，由于实物期权计算过程比较复杂，采用多种模型方法计算，以取得相互验证效果，是一个较好的选择，这或许也是可以体现近似模型的实用价值之处。项目经理博客 5 实物期权在企业R&D投资项目决策中的应用项目管理者联盟 5．1 实物期权模型计算中的参数确定www.mypm.net 在影响实物期权的价值的六个关键变量中，项目价值V、项目价值V的波动率和无风险利率大小往往对项目实物期权价值具有重要的影响，下面我们简要讨论一下它们的确定方法。项目管理者联盟 （1）波动率 的确定方法
以企业R&D投资项目为例，项目价值是由项目产品成功上市之后的收益现金流的折现值，在研发刚刚开始之际，对未来的预期有着很大的不确定性，因此，试图直接确定其波动率是十分困难的。本文建议采用蒙特卡洛模拟技术来解决这一难题。具体做法是：首先通过决策者或专家的经验估计，对影响项目价值的有关变量，如销售收入，投资，经营成本，项目寿命期、折现率等参数用三点估计法或专家的意见的统计结果，给出上述参数的变化区间和概率分布（如正态分布、均匀分布等），利用随机抽样和计算机上万次以上的模拟计算，便可计算得出项目收益现值和波动率。此时，项目收益现值V和波动率 是同时得出的。项目管理者联盟 （2）无风险利率r 的确定
在许多文献中，对无风险利率大多是建议采用短期国库券利率，这对计算金融期权是合理的。而对于实物期权的计算而言，由于投资项目的寿命较长，因此，使用短期国库券利率显得不够合理，而采用长期国债利率相对而言，与实物期权的标的资产的寿命期限比较匹配。但在我国的证券市场，由于国债不允许买空卖空，造成市场国债收益率的经常性波动很大，以上证市场010303国债为例，见图5-1所示，仅在2004的上半年中，价格波动幅度就超过了23%，远比同期银行贷款利率的波动率要大的多。 因此，我们认为采用银行贷款利率作为资产组合的无风险利率更为合理，故选择一年期银行贷款利率作为无风险利率。
图5-1 上证市场010303国债的价格变化（2004-1-2 ~ 2004-7-7）PgMp.mypm.net （3）项目收益现值V的确定bbs.mypm.net 在（1）中，我们建议采用蒙特卡洛模拟技术进行分析确定波动率 ，这样，项目的收益现值V与波动率 同时被确定出来。不过，前面我们忽略了一个问题，就是如何选择一个合理的折现率来计算项目的收益现值V？对于采用蒙特卡洛模拟计算技术，这个问题似乎就变得稍微简单了一些：因为此时我们只要确定一个合理的折现率区间就可以了，这要远比确定单一数值的折现率相对容易解决。但是，我们建议仍然首先估计出一个单一数值的折现率，然后再设定变化区间。例如，如果投资项目的风险属于中等风险程度，那么，企业当前的加权资本成本就是一个比较合理的选择。然而由于企业的R&D投资项目一般是属于高风险项目，应当参照相应风险等级的投资项目或资产收益率进行合理确定其数值，然后再根据专家调查或历史数据资料，应用统计分析方法确定出合理的折现率取值区间和分布特征，然后将其作为蒙特卡洛模拟的初始输入，并通过模拟计算得出项目的收益现值V的期望值和波动率 。一旦得出结果，就可以根据波动率 的大小，分析判断初始设定的折现率取值区间是否合理，判断是否需要进行反馈调整，这样，经过若干次反馈叠代试算之后，便可将项目的收益现值V，波动率 和折现率取值区间全部一同确定下来。项目经理博客 由于计算实物期权的参数受到较大的主观因素的影响，因此与常规投资分析类似，对实物期权模型计算结果通常需要进行敏感性分析。并且与传统DCF分析相比，实物期权的评估价值对不确定性更加敏感，因此，敏感性分析对实物期权法突显得更加重要。下面，我们将对一个较完整的R&D投资项目决策案例进行分析讨论。项目管理者联盟 5．2 应用案例分析pmp.mypm.net
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